Похідна на T-Kurs: правила диференціювання і дотична

Похідна — основа всього блоку "Математичний аналіз". Без неї неможливо знайти екстремуми, точки перегину, рівняння дотичної чи розв'язати Kurvendiskussion. Тому правила диференціювання на іспиті T-Kurs потрібно знати "на автоматі": тут немає часу згадувати формулу.

Розберемо правила, типові приклади та пастки, на яких найчастіше втрачаються бали.

Що показує похідна

Похідна $f'(x)$ — це швидкість зміни функції, ніби спідометр на дорозі, якою рухається графік:

$f'(x) > 0$ — графік іде вгору, функція зростає;
$f'(x) < 0$ — графік іде вниз, функція спадає;
$f'(x) = 0$ — графік на мить "зупиняється": це кандидат на максимум або мінімум.

Слово "кандидат" тут важливе: рівність $f'(x) = 0$ ще не доводить, що в точці є екстремум. Це розібрано в статті про Kurvendiskussion на T-Kurs.

Шість правил диференціювання

Правило	Формула
Potenzregel (степінь)	$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Faktorregel (множник)	$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
Summenregel (сума)	$(f + g)' = f' + g'$
Produktregel (добуток)	$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Quotientenregel (частка)	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
Kettenregel (складна функція)	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Похідні ключових функцій

Функція	Похідна
$c$ (стала)	$0$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$e^{kx}$	$k \cdot e^{kx}$
$\ln x$ (при $x > 0$ )	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$

Похідна $e^{kx}$ — це вже застосування ланцюгового правила: зовнішня функція $e^u$ , внутрішня $u = kx$ , її похідна $k$ .

Приклади

Приклад 1. Правило добутку. Знайдемо похідну $f(x) = x^2 \cdot e^x$ . Тут $u = x^2$ , $v = e^x$ , тож $u' = 2x$ , $v' = e^x$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2) \cdot e^x$

Приклад 2. Правило частки. Для $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ маємо $u = x + 1$ , $v = x - 2$ , $u' = v' = 1$ :

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}$

Приклад 3. Ланцюгове правило. Для $f(x) = (2x + 1)^3$ зовнішня функція — куб, внутрішня — $2x + 1$ :

$f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2$

Ще два приклади в тому ж дусі: $\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}$ і $\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

Дотична до графіка

Рівняння дотичної до графіка функції в точці $x_0$ має вигляд:

$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$

Це класичне завдання: "Bestimmen Sie die Tangentengleichung".

Приклад. Дотична до $f(x) = x^3 - 2x$ у точці $x_0 = 1$ .

Значення функції: $f(1) = 1 - 2 = -1$ .
Похідна: $f'(x) = 3x^2 - 2$ , тому $f'(1) = 1$ .
Підставляємо: $t(x) = 1 \cdot (x - 1) + (-1) = x - 2$ .

Поведінка на нескінченності: швидке правило

Для дробів із многочленів достатньо порівняти степені чисельника й знаменника:

степінь чисельника більший — вираз прямує до $\pm\infty$ , наприклад, $\dfrac{x^3}{x + 1}$ ;
степені однакові — границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів, наприклад, $\dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4} \to 3$ ;
степінь чисельника менший — границя дорівнює $0$ , наприклад, $\dfrac{x + 1}{x^2 + 1} \to 0$ .

Якщо знаменник прямує до нуля, а чисельник ні, графік має вертикальну асимптоту (senkrechte Asymptote).

Три типові помилки

Забутий product rule. Похідна $x^2 \cdot e^x$ дорівнює не $2x \cdot e^x$ , а $(2x + x^2) \cdot e^x$ .
Зупинка на $f'(x) = 0$ . Це лише необхідна умова. Щоб довести, що точка є максимумом чи мінімумом, потрібна друга похідна або таблиця знаків.
Скорочення доданків. У виразі $\dfrac{x + 5}{x}$ не можна "скоротити $x$ ": скорочувати можна лише множники, а не доданки.

Більше пасток по всьому блоку математики — у статті 12 типових помилок на іспиті T-Kurs.

Що далі

Правила диференціювання логічно продовжуються Kurvendiskussion, а обернену дію, інтегрування, розібрано в статті про інтеграли на T-Kurs. У курсі T-Kurs ця тема розібрана з теорією, прикладами й практичними завданнями.

Похідна в курсі T-Kurs →