Вектори на T-Kurs: скалярний добуток, кут і колінеарність

Вектори — блок, який для багатьох абітурієнтів найменш знайомий. Зате він дуже алгоритмічний: кілька формул, які повторюються в різних задачах, і кілька пасток із позначеннями. Якщо звикнути до німецького запису, ця тема швидко перетворюється на надійні бали.

Терміни, з яких починається кожна задача

Точка і вектор — це різні записи

Це перша пастка і водночас найпростіше правило. Точка записується через вертикальну риску, наприклад $A(1|2|3)$, і означає місце в просторі. Вектор записується стовпчиком і означає переміщення:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Не можна писати точку у векторних дужках і навпаки.

Основні дії

Додавання і множення на число виконуються покомпонентно:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \qquad 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Модуль (Betrag) вектора обчислюється за теоремою Піфагора:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \qquad \left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16} = 5$

Вектор між двома точками — це різниця координат: від кінця віднімаємо початок. Для $A(1|2|3)$ і $B(4|0|3)$:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - 2 \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}$

Скалярний добуток

Скалярний добуток двох векторів — це число:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Головна його властивість: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ саме тоді, коли вектори перпендикулярні. Наприклад:

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 0$

Отже, ці вектори перпендикулярні (orthogonal). Шукай такі "легкі" пари: в іспитових задачах числа часто підібрані так, щоб добуток рахувався за секунду.

Кут між векторами

Формула кута читається в три кроки: скалярний добуток, потім модулі, потім ділення:

$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Приклад. Кут між $\vec{a} = (1;\,1;\,0)$ і $\vec{b} = (1;\,0;\,1)$. Скалярний добуток: $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$. Модулі: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$. Тоді:

$\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ$

Колінеарність

Вектори $\vec{a}$ і $\vec{b}$ колінеарні (паралельні), якщо існує таке число $r$, що $\vec{a} = r \cdot \vec{b}$. Головне: число $r$ має бути однаковим для всіх компонент.

• $(1;\,2;\,3)$ і $(2;\,4;\,6)$ колінеарні, бо $r = 2$ для кожної компоненти.
• $(1;\,2)$ і $(2;\,5)$ не колінеарні: для першої компоненти $r = 2$, а для другої $r = 2{,}5$.

Доведення перпендикулярності в трикутнику

Скалярний добуток — головний метод для доведення прямого кута. Потрібно скласти вектори двох сторін, що сходяться у вершині, і показати, що їхній добуток нуль.

Приклад. Трикутник $A(1|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(0|2|1)$. Перевіримо кут при вершині $B$:

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 + 0 + 0 = 0$

Скалярний добуток дорівнює нулю, тож кут при $B$ прямий.

Типові помилки

• Плутанина точки й вектора у записі (див. вище).
• Квадрат суми векторів. Формула $(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2$ — помилка. Правильно:

$(\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

• Ділення на вектор. Вирази на кшталт $\dfrac{\vec{a}}{\vec{b}}$ не існують: вектори не діляться.
• Одне число $r$ для колінеарності. Перевіряти треба всі компоненти, а не лише першу.

Що далі

Вектори — основа наступної теми: прямих і площин у просторі. Загальну карту тем, у якій вектори стоять поряд з іншими блоками, дано у статті про усі теми математики T-Kurs. У курсі T-Kurs теорія, приклади й практичні завдання зібрані по кожній темі.

Вектори в курсі T-Kurs →