12 типових помилок на іспиті з математики T-Kurs

На іспиті з математики бали найчастіше втрачаються не на складних ідеях, а на дрібницях: забутій умові, скороченні не на те, неправильному записі відповіді. Нижче — дванадцять пасток, які повторюються з теми в тему. Для кожної показано, як виглядає помилка і як записувати правильно.

Загальна порада: коли розв'язуєш вдома, підкреслюй у своїх помилках причину, а не лише результат. Тоді швидко видно, які саме пастки твої, і їх можна прибрати цілеспрямовано. Про те, як вести такий журнал, — у плані підготовки до іспиту T-Kurs.

Рівняння

1. Підстановка без обмеження на нову змінну

Рівняння $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ розв'язується заміною $t = x^2$. Вийде $t^2 - 3t - 4 = 0$, тобто $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. Але $t = x^2$ не може бути від'ємним, тому $t_2 = -1$ відкидаємо. Залишається $x^2 = 4$, тобто $x = \pm 2$.

Правило: одразу після заміни записуй умову ($t \ge 0$ для $t = x^2$, $t > 0$ для $t = 2^x$).

2. Параметр біля старшого коефіцієнта

У рівнянні $kx^2 + 4x + 2 = 0$ не можна відразу рахувати дискримінант $D = 16 - 8k$: при $k = 0$ рівняння перестає бути квадратним. Потрібна Fallunterscheidung:

• $k = 0$: $4x + 2 = 0$, тобто $x = -0{,}5$ (один корінь);
• $k \neq 0$: тепер можна досліджувати $D = 16 - 8k$.

Пропущений випадок $k = 0$ коштує значної частини балів за завдання.

3. Скорочення на вираз зі змінною

У рівнянні $x^2(x - 3) = 4(x - 3)$ хочеться скоротити обидві частини на $(x - 3)$. Тоді корінь $x = 3$ загубиться. Правильно — перенести все в один бік і винести множник:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x \in \{-2;\ 2;\ 3\}$

Те саме стосується тригонометрії: у рівнянні $\sin x \cdot \cos x = \sin x$ скорочення на $\sin x$ знищує половину розв'язків. Виносимо: $\sin x\,(\cos x - 1) = 0$, і розглядаємо обидва множники.

4. Квадрат суми коренів

Для $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1} = 3$ не можна просто "прибрати" корені: $(x+2) + (x-1) = 9$ — це помилка. Підносити до квадрата треба всю суму за формулою $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, після чого ізолювати корінь, що залишився, і підносити до квадрата вдруге. У кінці обов'язкова перевірка знайденого кореня підстановкою в початкове рівняння.

5. Корінь дорівнює від'ємному числу

Рівняння $\sqrt{2x^2 - 4} = -5$ не потрібно розв'язувати: арифметичний квадратний корінь не буває від'ємним. Записуємо $L = \emptyset$ і рухаємося далі. Дуже схожа пастка: $\sqrt{x^2} = |x|$, а не $x$.

6. Логарифм суми

Рівняння $3^{x+2} + 3^x = 30$ не розв'язується логарифмуванням лівої частини, адже $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$. Треба винести спільний множник:

$3^x \cdot 9 + 3^x = 30 \Rightarrow 3^x \cdot 10 = 30 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$

Нерівності

7. Плутанина "між" і "поза" для квадратичних нерівностей

• $x^2 - 16 > 0$ — розв'язок $(-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$, а не $(-4; 4)$.
• $-x^2 + 9 > 0$ — розв'язок $(-3; 3)$, бо парабола відкривається вниз.
• $x^2 - 25 \ge 0$ — корені входять у відповідь: $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Якщо $D < 0$, відповідь не обов'язково порожня: для $x^2 + 1 > 0$ вона — усі дійсні числа. Знак коефіцієнта $a$ вирішує все.

8. Множення дробової нерівності на знаменник

У нерівності $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 3$ не можна написати $x + 1 > 3(x - 2)$: знак знаменника невідомий, а від нього залежить напрямок нерівності. Спочатку все переносимо в один дріб:

$\frac{x + 1}{x - 2} - 3 > 0 \Rightarrow \frac{7 - 2x}{x - 2} > 0$

Особливі точки — $x = 2$ і $x = 3{,}5$. Розв'язок: $x \in (2;\ 3{,}5)$. Про цей і подібні методи — у статті про нерівності на T-Kurs.

9. Модуль: не той знак і не та форма

• $|x| < 3$ означає $-3 < x < 3$, а не $x < -3$.
• $|x| > 4$ означає $x < -4$ або $x > 4$.
• $|2x - 1| < 3$ спочатку записуємо як $-3 < 2x - 1 < 3$, і лише потім розв'язуємо: $x \in (-1;\ 2)$.
• Якщо права частина від'ємна ($|x| \le -4$), відповідь — $\emptyset$.

Аналіз

10. Забутий product rule і відсутність обґрунтування екстремуму

Похідна $x^2 \cdot e^x$ дорівнює не $2x \cdot e^x$, а $2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$ — треба застосувати правило добутку.

Друга частина цієї пастки — зупинитися на $f'(x) = 0$. Це лише необхідна умова. Щоб стверджувати, що в точці є максимум або мінімум, потрібен аргумент: знак другої похідної або зміна знака першої. І ще одна деталь: $e^x$ ніколи не дорівнює нулю, тож у рівнянні $(x - 2)e^x = 0$ на нього можна просто ділити.

Обчислення

11. Градуси, радіани й округлення: без калькулятора

На іспиті калькулятор заборонений, тому дві речі мають бути "в голові": значення тригонометричних функцій для стандартних кутів і точна форма відповіді.

Спершу перевір, у чому заданий кут: $\sin(90^\circ) = 1$, а синус 90 радіанів — зовсім інше число. Від цього залежать і формули довжини дуги та площі сектора.

Значення, які треба пам'ятати напам'ять:

Друге: не замінюй точні значення наближеними. Залишай $\sqrt{2}$, $\pi$, $\dfrac{\ln 5}{\ln 3}$ у вигляді символів, а не $1{,}4$, $3{,}14$ чи десяткових дробів. Округлення, яке з'явилося посеред розв'язання, псує все, що після нього.

12. Polynomdivision: пропущені степені та запис остачі

Щоб поділити $x^3 - 7x - 6$ у стовпчик, спочатку допиши відсутній степінь: $x^3 + 0x^2 - 7x - 6$. Без цього доданки зсуваються і все ламається.

Остачу не записують як "Rest 3". Правильна форма — сума:

$\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} = x + 2 + \frac{3}{x + 1}$

Бонус: три пастки в геометрії

• Strahlensätze: правильне відношення — $\dfrac{SA}{SA'} = \dfrac{SB}{SB'}$ (частина до цілої сторони від точки $S$), а не $\dfrac{SA}{AA'}$.
• Діаметр і радіус: у формулах завжди $r$. Якщо дано діаметр, першим кроком $r = d/2$.
• Одиниці виміру: площа — у квадратних одиницях, об'єм — у кубічних. Відсутність одиниць у відповіді може коштувати балів.

Як працювати з цим списком

Не намагайся запам'ятати все за раз. Візьми 2-3 пастки, які здалися найбільш знайомими, і знайди на практиці завдання, де вони трапляються. Потім додай ще кілька. Так за пару тижнів список перетворюється з переліку на звичку.

Усі ці пастки розібрані в курсі T-Kurs прямо на своїх темах — разом із теорією, прикладами і практичними завданнями для закріплення.

Переглянути курс T-Kurs →