Нерівності на T-Kurs: квадратичні, дробові й з модулем

Нерівності — компактна тема, але саме на ній губляться бали через дрібниці: не той знак, не та дужка, забута точка. Усі три типи, що трапляються в підготовці до T-Kurs, — квадратичні, дробові й з модулем — розв'язуються за схожою схемою: знаходимо "особливі" точки, ділимо ними вісь на проміжки і на кожному проміжку визначаємо знак.

Розберемо кожен тип на прикладах.

Універсальна схема

1. Перенеси все в одну частину, щоб з іншого боку був нуль.
2. Знайди особливі точки: корені чисельника, корені знаменника, точки, де змінюється вираз під модулем.
3. Познач їх на осі й визнач знак виразу на кожному проміжку.
4. Вибери проміжки з потрібним знаком і акуратно запиши відповідь із правильними дужками.

Правило дужок таке: круглі дужки ставимо для строгих знаків ($<$, $>$) і для точок, де вираз не визначений; квадратні — для нестрогих ($\le$, $\ge$), якщо точка дозволена.

Квадратичні нерівності

Приклад 1. Розв'яжемо $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Розкладаємо: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Корені — $x = 2$ і $x = 3$. Парабола відкривається вгору, тому вираз недодатний між коренями. Знак нестрогий, тож корені входять у відповідь:

$x \in [2;\ 3]$

Приклад 2. $-x^2 + 9 > 0$.

Перепишемо: $x^2 < 9$, тобто $x \in (-3;\ 3)$. Тут парабола відкривається вниз, тому додатні значення — між коренями. Багато хто помилково бере зовнішні проміжки й забуває про знак коефіцієнта $a$.

Приклад 3. $x^2 + 4x + 5 > 0$.

Дискримінант $D = 16 - 20 = -4 < 0$, корені відсутні, а парабола відкривається вгору. Отже, вираз додатний для будь-якого $x$:

$x \in \mathbb{R}$

Це наочно показує, що $D < 0$ не означає порожню відповідь: усе залежить від знака $a$.

Дробові нерівності

Головне правило: не множити на знаменник. Ми не знаємо його знака, а від знака залежить напрямок нерівності. Замість цього переносимо все в один дріб і досліджуємо знак дробу.

Приклад 4. $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 3$.

Крок 1: переносимо трійку ліворуч і зводимо до спільного знаменника:

$\frac{x + 1}{x - 2} - 3 = \frac{x + 1 - 3(x - 2)}{x - 2} = \frac{7 - 2x}{x - 2} > 0$

Крок 2: особливі точки — $x = 2$ (знаменник) і $x = 3{,}5$ (чисельник).

Крок 3: знаки на проміжках.

Потрібен знак "плюс", тож відповідь:

$x \in (2;\ 3{,}5)$

Приклад 5 (нестрога нерівність). $\dfrac{x - 3}{x + 1} \ge 0$.

Особливі точки: $x = 3$ (чисельник) і $x = -1$ (знаменник). Знак дробу "плюс" при $x < -1$ і при $x > 3$. Тепер важливо: чисельник може дорівнювати нулю, тож $x = 3$ входить у відповідь. Знаменник нулю дорівнювати не може, тож $x = -1$ ні:

$x \in (-\infty;\ -1) \cup [3;\ +\infty)$

Пастка зі скороченням. Вираз $\dfrac{x(x + 1)}{x}$ можна скоротити до $x + 1$, але тільки із застереженням $x \neq 0$. Точка, яка виключена, лишається виключеною і після скорочення.

Нерівності з модулем

Три базові правила:

• $|x| < a$ (при $a > 0$) означає $-a < x < a$: значення між межами.
• $|x| > a$ означає $x < -a$ або $x > a$: значення поза межами.
• Якщо права частина від'ємна, то $|x| < -a$ не має розв'язків, а $|x| > -a$ виконується завжди.

Приклад 6. $|2x - 3| < 5$.

Записуємо як подвійну нерівність і розв'язуємо її:

$-5 < 2x - 3 < 5 \Rightarrow -2 < 2x < 8 \Rightarrow -1 < x < 4$

Відповідь: $x \in (-1;\ 4)$.

Приклад 7. $|x - 4| > 2$.

Це "поза межами": $x - 4 < -2$ або $x - 4 > 2$, тобто $x < 2$ або $x > 6$:

$x \in (-\infty;\ 2) \cup (6;\ +\infty)$

Приклад 8 (метод випадків). $|x - 1| + |x + 2| \le 5$.

Тут два модулі, і просте правило не спрацює. Особливі точки — $x = -2$ і $x = 1$, де вирази під модулями змінюють знак. Розбиваємо вісь на три частини:

• $x < -2$: обидва вирази від'ємні, тож $-(x - 1) - (x + 2) = -2x - 1 \le 5$, звідки $x \ge -3$. З умовою $x < -2$ маємо $[-3;\ -2)$.
• $-2 \le x < 1$: $-(x - 1) + (x + 2) = 3 \le 5$ — завжди правда, тому весь проміжок $[-2;\ 1)$ підходить.
• $x \ge 1$: $(x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 \le 5$, звідки $x \le 2$. З умовою $x \ge 1$ маємо $[1;\ 2]$.

Об'єднуємо три частини:

$x \in [-3;\ 2]$

Типові помилки в записі

• Взяти зовнішні проміжки замість внутрішніх (і навпаки) для квадратичної нерівності через неврахований знак $a$.
• Забути виключити точку, де знаменник дорівнює нулю, навіть коли нерівність нестрога.
• Помилково включити точку, де знаменник нуль, лише тому, що знак у нерівності нестрогий.
• Записати $|2x - 3| < 5$ як $2x - 3 < 5$ і загубити ліву межу.
• Поставити квадратні дужки біля $\pm\infty$: біля нескінченності завжди круглі.

Більше пасток із теми — у статті про типові помилки на іспиті T-Kurs.

Практика

Найкращий спосіб закріпити тему — розв'язати по кілька завдань кожного типу й перевірити відповідь підстановкою кількох чисел: одного всередині знайденої множини і одного поза нею. Для цього не потрібен калькулятор.

Теорія, приклади і практичні завдання з нерівностей є в курсі T-Kurs.

Нерівності в курсі T-Kurs →