Прямі та площини у просторі на T-Kurs: рівняння й перетин

Пряма у просторі — це лінія, що проходить через задану точку в заданому напрямку. Площина задається точкою і двома напрямками, у яких вона "розтягується". Обидва поняття записуються через вектори, тому ця тема будується на векторах і скалярному добутку: спершу варто впевнено володіти ними.

Нижче — форми запису, головні типи задач і пастки, що трапляються найчастіше.

Німецькі терміни

Форми запису

Пряма (Parameterform):

$g: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u}$

де $\vec{p}$ — опорний вектор, $\vec{u}$ — напрямний, $s$ — параметр.

Площина (Parameterform):

$E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$

Вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$ мають бути не колінеарними. Інакше ти отримуєш пряму, а не площину.

Площина (Normalenform):

$E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

Це найзручніша форма для задач: площина — це всі точки, для яких вектор від $\vec{p}$ перпендикулярний до нормалі $\vec{n}$. Розкриття дужок дає координатну форму (Koordinatenform) $a x_1 + b x_2 + c x_3 = d$.

Нормальний вектор із двох напрямних

Щоб перейти від параметричної форми до нормальної, знаходять нормаль як векторний добуток напрямних:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix}$

Приклад. Для $\vec{u} = (1;\,2;\,0)$ і $\vec{v} = (0;\,1;\,1)$:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Перевірка: нормаль має бути перпендикулярна обом напрямним. Справді, $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 - 2 + 0 = 0$ і $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 - 1 + 1 = 0$. Ця коротка перевірка захищає від найпоширенішої помилки — у знаках.

Що читається з координатної форми

У рівнянні $2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 10$ коефіцієнти при змінних — це координати нормального вектора:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Пастка: брати ці числа як точку $(2|3|-4)$ або опорний вектор. Точка на площині шукається окремо, наприклад, підстановкою: тут підійде $(5|0|0)$, бо $2 \cdot 5 = 10$.

Перетин прямої з площиною

Метод один: підставляємо координати прямої в рівняння площини й знаходимо параметр.

Приклад. Пряма $g: \vec{x} = (1;\,0;\,2) + s \cdot (2;\,1;\,-1)$, площина $E: x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 13$.

Точка прямої має координати $(1 + 2s;\ s;\ 2 - s)$. Підставляємо:

$(1 + 2s) + 2s + 3(2 - s) = 13 \Rightarrow 7 + s = 13 \Rightarrow s = 6$

Підставляємо $s = 6$ назад у пряму й отримуємо точку перетину: $S(13|6|-4)$. Перевірка в площині: $13 + 12 - 12 = 13$.

Три можливі результати

При підстановці прямої в площину можливі три ситуації:

• одне значення параметра (як вище) — пряма перетинає площину в одній точці;
• рівність, яка завжди правдива (наприклад, $0 = 0$) — пряма лежить у площині;
• неможлива рівність (наприклад, $0 = 5$) — пряма паралельна площині й не має спільних точок.

Приклад двох останніх випадків. Пряма з напрямним вектором $(2;\,-1;\,0)$, що проходить через початок координат, тобто точки $(2s;\ -s;\ 0)$, і площина $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d$. Підстановка дає $2s - 2s + 0 = d$. При $d = 0$ вийде $0 = 0$: пряма лежить у площині. При $d = 5$ вийде $0 = 5$: пряма паралельна площині.

Відстань від точки до площини

Для площини в нормальній формі відстань від точки $Q$ дорівнює:

$d = \frac{\big| (\vec{Q} - \vec{p}) \cdot \vec{n} \big|}{|\vec{n}|}$

Тут $\vec{p}$ — будь-яка точка площини. Це так звана Hessesche Normalform: ділення на довжину нормалі обов'язкове.

Приклад. Відстань від $Q(1|1|1)$ до площини $2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 10$. Нормаль $\vec{n} = (2;\,3;\,-4)$, $|\vec{n}| = \sqrt{29}$, точка площини $p = (5;\,0;\,0)$, тож $\vec{Q} - \vec{p} = (-4;\,1;\,1)$:

$d = \frac{|-8 + 3 - 4|}{\sqrt{29}} = \frac{9}{\sqrt{29}}$

Без калькулятора відповідь залишають у такому точному вигляді.

Кут між прямою та площиною

Кут між прямою та площиною обчислюється через синус, а не косинус:

$\sin\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

Для прямої з $\vec{u} = (2;\,1;\,-1)$ і площини з $\vec{n} = (1;\,2;\,3)$: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 + 2 - 3 = 1$, $|\vec{u}| = \sqrt{6}$, $|\vec{n}| = \sqrt{14}$. Отже, $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{84}}$, а кут записується як $\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{84}}$. Порахувати його без калькулятора не вийде, тому точний запис і є відповіддю.

Для кута між двома прямими, навпаки, використовується косинус: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Типові помилки

• Колінеарні напрямні вектори площини. Вийде пряма, а не площина.
• Координати нормалі як точка. Точку на площині треба знаходити окремо.
• Синус і косинус переплутані для кута між прямою і площиною.
• Забули поділити на $|\vec{n}|$ у формулі відстані.
• Знаки у векторному добутку. Особливо знак середньої компоненти. Рятує перевірка скалярним добутком.

Що далі

Загальну карту тем із місцем цього блоку — у статті про усі теми математики T-Kurs. Теорія, приклади й практичні завдання з прямих і площин є в курсі T-Kurs.

Прямі та площини в курсі T-Kurs →