Інтеграли на T-Kurs: первісна, площа і типові пастки

Інтегрування — дія, обернена до диференціювання. Якщо похідна відповідає на питання "як швидко змінюється функція", то інтеграл — на питання "скільки накопичилося". Геометрично визначений інтеграл дорівнює площі під графіком. На T-Kurs ця тема логічно завершує блок аналізу, і на неї добре працює одне правило: знати чотири-п'ять формул і не помилятися в знаках.

Два види інтеграла

Невизначений інтеграл (unbestimmtes Integral) шукає сім'ю функцій, похідна яких дорівнює заданій:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

Константа $C$ (Integrationskonstante) обов'язкова: її відсутність у відповіді — мінус бал.

Визначений інтеграл (bestimmtes Integral) — це число: різниця значень первісної (Stammfunktion) на межах.

$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$

Зв'язок між ними називається головною теоремою аналізу (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Правила інтегрування

• Степінь: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ при $n \neq -1$.
• Множник: $\displaystyle\int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx$.
• Сума: $\displaystyle\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$.
• Експонента: $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$, а $\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}\,e^{kx} + C$.
• Обернена величина: $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

Швидка перевірка будь-якої первісної: продиференціюй результат, і має вийти вихідна функція.

Приклади

Приклад 1. Невизначений інтеграл.

$\int (3x^2 + 2x)\,dx = x^3 + x^2 + C$

Приклад 2. Визначений інтеграл. Обчислимо $\displaystyle\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx$. Первісна: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x$.

$\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2 - 0 = \frac{14}{3}$

Приклад 3. Експонента. $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}\,e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

Площа: чому інтеграл і площа — не те саме

Інтеграл враховує знак, а площа завжди додатна. Якщо графік лежить нижче осі $x$, інтеграл виходить від'ємним.

Приклад 4. Функція $f(x) = x^2 - 3x$ на проміжку $[0;\ 3]$ лежить під віссю $x$:

$\int_0^3 (x^2 - 3x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = 9 - 13{,}5 = -4{,}5$

Це значення інтеграла. Якщо в задачі питають про площу (Flächeninhalt), відповідь — $A = 4{,}5$, тобто беремо модуль результату. Загальна форма запису: $A = \displaystyle\int |f(x)|\,dx$.

Якщо ж графік перетинає вісь усередині проміжку, інтеграл треба розбити на частини в точках перетину й додати площі окремо.

Площа між двома графіками

Формула для двох функцій:

$A = \int_a^b \big| f(x) - g(x) \big|\,dx$

Межі $a$ і $b$ часто заздалегідь не дано: їх треба знайти як точки перетину графіків, розв'язавши $f(x) = g(x)$.

Приклад 5. Знайдемо площу між $f(x) = -x^2 + 4$ і $g(x) = x + 2$.

Точки перетину: $-x^2 + 4 = x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$, звідки $x = -2$ і $x = 1$. На цьому проміжку графік $f$ лежить вище, тож:

$A = \int_{-2}^{1} \big( -x^2 + 4 - x - 2 \big)\,dx = \int_{-2}^{1} \big( -x^2 - x + 2 \big)\,dx$

$= \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1} = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{27}{6} = 4{,}5$

Три пастки інтегралів

1. Забута константа $C$. У невизначених інтегралах вона обов'язкова.
2. Переставлені межі. $\displaystyle\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$. Перестановка меж змінює знак: наприклад, $\displaystyle\int_2^0 (x^2 + 1)\,dx = -\frac{14}{3}$.
3. "Площа" замість "інтеграла". Коли графік під віссю, інтеграл від'ємний, а площа додатна. Уважно читай, що саме питають.

Ще одна порада: якщо результат виходить від'ємним у задачі на площу, це майже завжди сигнал, що треба було взяти модуль або переставити функції місцями.

Як це пов'язано з рештою аналізу

Інтеграл використовує ті ж навички, що й похідна: правила диференціювання зручно знати в обидва боки, щоб перевіряти первісну. А точки перетину графіків шукаються через рівняння, яким присвячено окремий блок курсу.

Теорія, приклади й практичні завдання з інтегралів зібрані в курсі T-Kurs.

Інтеграли в курсі T-Kurs →