Kurvendiskussion на T-Kurs: алгоритм і приклад

Kurvendiskussion — повне дослідження функції — одне з найважливіших завдань блоку "Математичний аналіз". У ньому в одній задачі поєднуються рівняння, похідні і робота з графіком, тож правильно виконане дослідження закриває одразу кілька навичок. Хороша новина: це алгоритмічне завдання. Якщо знаєш послідовність кроків, складність зводиться до акуратності.

Важлива особливість: у німецьких завданнях оцінюється не лише відповідь, а й хід розв'язання (der Weg). Тому кожен крок варто записувати чітко, навіть якщо результат здається очевидним.

Сім кроків

1. Definitionsbereich (D). Область визначення. Дивимося на знаменники ($\neq 0$), корені ($\ge 0$) і логарифми ($> 0$).
2. Symmetrie. Якщо $f(-x) = f(x)$, функція парна (симетрія відносно осі $y$); якщо $f(-x) = -f(x)$ — непарна (симетрія відносно початку координат).
3. Nullstellen. Нулі функції: розв'язуємо $f(x) = 0$.
4. Extrempunkte. Необхідна умова: $f'(x) = 0$. Достатня: $f''(x) \neq 0$. Якщо $f''(x) > 0$ — мінімум (Tiefpunkt), якщо $f''(x) < 0$ — максимум (Hochpunkt).
5. Wendepunkte. Необхідна умова: $f''(x) = 0$. Достатня: $f'''(x) \neq 0$.
6. Grenzwerte. Поведінка на краях: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ і $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
7. Wertebereich (W). Множина значень функції.

Порядок краще не змінювати: результати попередніх кроків використовуються в наступних.

Приклад: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$

1. Область визначення. Це многочлен, тому $D = \mathbb{R}$.

2. Симетрія. $f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 9x$. Цей вираз не збігається ні з $f(x)$, ні з $-f(x)$ (наприклад, $f(-1) = -16$, а $f(1) = 4$), тож жодної простої симетрії немає.

3. Нулі. Виносимо $x$ за дужки:

$x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2 = 0$

Отже, $x = 0$ і $x = 3$. Корінь $x = 3$ подвійний, тому в цій точці графік лише торкається осі $x$, не перетинаючи її.

4. Екстремуми. Знаходимо похідні:

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3), \qquad f''(x) = 6x - 12$

З $f'(x) = 0$ отримуємо $x = 1$ і $x = 3$. Перевіряємо другою похідною:

• $f''(1) = -6 < 0$ — максимум, $f(1) = 4$, точка $H(1\,|\,4)$;
• $f''(3) = 6 > 0$ — мінімум, $f(3) = 0$, точка $T(3\,|\,0)$.

5. Точки перегину. $f''(x) = 6x - 12 = 0$ дає $x = 2$. Третя похідна $f'''(x) = 6 \neq 0$, тож це справді точка перегину. Обчислюємо $f(2) = 8 - 24 + 18 = 2$, отже, $W(2\,|\,2)$.

6. Границі. Для многочлена третього степеня домінує старший член $x^3$:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

7. Множина значень. Функція неперервна і необмежена в обидва боки, тому $W = \mathbb{R}$.

Таблиця знаків (Vorzeichentabelle)

Знак похідної показує, де функція зростає, а де спадає:

Знак другої похідної описує кривизну: при $x < 2$ маємо $f'' < 0$ (Rechtskurve), при $x > 2$ маємо $f'' > 0$ (Linkskurve), а в точці $x = 2$ характер кривизни змінюється. Це і є перегин.

Коли в умові є експонента

Візьмемо $f(x) = x \cdot e^x$. Тут теж усе робиться за тим самим алгоритмом, але з одним нюансом: $e^x > 0$ для будь-якого $x$, тому при розв'язанні рівнянь на нього можна ділити.

• Похідна: $f'(x) = (1 + x)e^x$. Оскільки $e^x \neq 0$, умова $f'(x) = 0$ дає $x = -1$.
• Друга похідна: $f''(x) = (2 + x)e^x$. Маємо $f''(-1) = e^{-1} > 0$, тож це мінімум: $T\left(-1\,\middle|\,-\tfrac{1}{e}\right)$.
• Перегин: $f''(x) = 0$ при $x = -2$, причому $f'''(x) = (3 + x)e^x$ і $f'''(-2) = e^{-2} \neq 0$.
• Границі: $x \cdot e^x \to +\infty$ при $x \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ значення прямує до $0$ (з від'ємного боку).

Тут же видно, навіщо знати правило добутку: $(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x$. Помилку з його забуттям розібрано в статті про типові помилки на іспиті T-Kurs.

Дробові функції: не забути ОДЗ

Якщо в умові дробова функція, перший крок стає особливо важливим. Точка, в якій знаменник дорівнює нулю, не входить в область визначення, а отже, не може бути ні нулем, ні екстремумом, навіть якщо формально $f'(x) = 0$ там виходить. Для нулів дробу достатньо прирівняти до нуля чисельник, за умови, що знаменник у цій точці не нульовий.

Що записувати в чистовику

• Кожен із семи кроків окремим рядком, навіть якщо він тривіальний.
• Обов'язково вказувати обидві координати точок екстремуму й перегину: не лише $x = 1$, а $H(1\,|\,4)$.
• Обґрунтування, чому це максимум або мінімум (знак другої похідної або таблиця знаків).
• Для нулів кратності два і більше — коментар про торкання осі.

Що далі

Kurvendiskussion зручно тренувати на многочленах, а потім переходити до дробових функцій і функцій з експонентою. Теорія, розбір алгоритму на прикладах і практичні завдання зібрані в модулях курсу T-Kurs.

Повне дослідження функцій у курсі →