Показникові рівняння на T-Kurs: три типи розв'язків

Показникове рівняння (Exponentialgleichung) — це рівняння, у якому невідома стоїть у показнику степеня, наприклад $2^{3x-1} = 32$. На іспиті T-Kurs воно трапляється і самостійно, і всередині задач на аналіз. Хороша новина: всі такі рівняння зводяться до трьох методів. Завдання — швидко розпізнати, який саме потрібен.

Спершу — властивості степенів

Без них не зробити навіть першого кроку. Їх треба знати напам'ять і вміти застосовувати в обидва боки:

• $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
• $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$
• $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$, зокрема $a^{2x} = (a^x)^2$
• $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$
• $\sqrt{x} = x^{1/2}$

Два важливих обмеження: основа $a > 0$ і $a \neq 1$, а сама функція $a^x$ приймає лише додатні значення. Останнє врятує тебе при заміні змінної.

Тип А: зведення до однієї основи

Якщо обидві частини можна записати як степені одного числа, просто прирівнюємо показники (Exponentenvergleich).

Приклад. $2^{3x-1} = 32$. Оскільки $32 = 2^5$:

$2^{3x-1} = 2^5 \Rightarrow 3x - 1 = 5 \Rightarrow x = 2$

Відповідь: $L = \{2\}$.

Тип Б: логарифмування

Коли основи до спільної привести не можна, беремо натуральний логарифм від обох частин.

Приклад. $3^x = 5$:

$\ln(3^x) = \ln 5 \Rightarrow x \cdot \ln 3 = \ln 5 \Rightarrow x = \frac{\ln 5}{\ln 3}$

Скористалися властивістю $\ln(a^b) = b \cdot \ln a$. Калькулятор на іспиті заборонений, тому значення логарифмів не рахують: точна відповідь $\dfrac{\ln 5}{\ln 3}$ — це і є готовий запис.

Тип В: заміна змінної

Ознака: у рівнянні є степені, де один показник удвічі більший за інший ($2x$ і $x$). Це замаскований квадрат.

Приклад. $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$. Оскільки $4^x = (2^x)^2$, робимо заміну $t = 2^x$ і одразу записуємо обмеження $t > 0$:

$t^2 - 3t - 4 = 0 \Rightarrow t_1 = 4,\ t_2 = -1$

Значення $t_2 = -1$ не підходить, бо $t > 0$. Повертаємося до $x$ лише для $t_1 = 4$:

$2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$

Відповідь: $L = \{2\}$.

Дві пастки

1. Логарифмування суми. У рівнянні $3^{x+2} + 3^x = 30$ хочеться взяти логарифм від лівої частини, але $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$. Правильний хід — розписати степені й винести спільний множник:

$3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30 \Rightarrow 3^x \cdot (9 + 1) = 30 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$

2. Число $e$ і нуль. Вираз $e^x$ ніколи не дорівнює нулю. Тому в рівнянні $(x - 2)\,e^x = 0$ на нього можна просто ділити, отримавши $x = 2$. Ця пастка постійно трапляється в задачах на екстремуми, коли похідну прирівнюють до нуля.

Завдання для самоперевірки

Розв'яжи самостійно, а потім звір із відповідями нижче.

1. $9^{x-1} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x$
2. $2^{x+3} - 2^x = 56$
3. $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$

Відповіді.

1. Зводимо до основи 3: $3^{2(x-1)} = 3^{-x}$, тобто $2x - 2 = -x$, звідки $x = \dfrac{2}{3}$.
2. Виносимо $2^x$: $2^x \cdot (8 - 1) = 56$, тобто $2^x = 8$, звідки $x = 3$.
3. Заміна $t = e^x$ (де $t > 0$): $t^2 - 5t + 6 = 0$, отже, $t = 2$ або $t = 3$. Обидва додатні, тож $x = \ln 2$ або $x = \ln 3$.

Як розпізнати тип за секунду

• Можна привести до однієї основи → тип А.
• Основи різні й "не дружать", а в рівнянні одна степенева частина → тип Б, логарифмуємо.
• Є степені з показниками $x$ і $2x$ → тип В, заміна.
• Сума або різниця степенів з однією основою → винести спільний множник.

Що далі

Заміна змінної в типі В зводить рівняння до квадратного, тому корисно освіжити квадратні рівняння на T-Kurs. А подібні пастки з умовами й відкиданням коренів зібрані в статті про 12 типових помилок на іспиті.

Теорія, приклади й практичні завдання з показникових рівнянь є в курсі T-Kurs.

Показникові рівняння в курсі T-Kurs →