Квадратні рівняння на іспиті T-Kurs: розбір типових завдань

Квадратні рівняння — одна з базових тем T-Kurs, яка рідко трапляється на іспиті в чистому вигляді. Набагато частіше вона схована всередині складнішого завдання: рівняння вищого степеня, яке зводиться до квадратного через підстановку, або рівняння з параметром. Якщо базова техніка не доведена до автоматизму, саме тут губиться час на іспиті.

Базова формула

Для рівняння виду

$ax^2 + bx + c = 0$

корені знаходяться через дискримінант:

$D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Якщо $D > 0$ — два корені, $D = 0$ — один корінь, $D < 0$ — дійсних коренів немає.

Приклад 1: підстановка

Рівняння вищого степеня часто зводяться до квадратного заміною змінної. Наприклад:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Тут напряму дискримінант не застосуєш — степінь занадто високий. Але якщо позначити $t = x^2$, рівняння перетворюється на:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Звідси $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Повертаємось до заміни: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$, і $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Разом — чотири корені.

Типова помилка: знайти $t$ і забути повернутися до $x$, залишивши відповідь у вигляді значень $t$.

Приклад 2: рівняння з параметром

$x^2 - 2(p+1)x + p^2 = 0$

Тут питання зазвичай не "розв'яжи рівняння", а "за яких значень параметра $p$ рівняння має два різних корені / один корінь / жодного". Відповідь шукається через дискримінант, який тепер сам залежить від $p$:

$D = [2(p+1)]^2 - 4p^2 = 4(p+1)^2 - 4p^2 = 4(2p+1)$

Два різних корені існують, коли $D > 0$, тобто коли $2p + 1 > 0 \Rightarrow p > -\tfrac{1}{2}$.

Типова помилка: розкрити дужки без обережності зі знаками, особливо коли параметр стоїть під квадратом.

На що звертати увагу на іспиті

• Перевіряй, чи справді потрібна заміна — якщо в рівнянні є лише парні степені однієї змінної ($x^4$, $x^2$, вільний член), підстановка майже завжди спрощує задачу.
• З параметром — спочатку визнач, яке саме питання ставиться (кількість коренів, знак коренів, конкретне значення), а вже потім вибирай, що досліджувати через дискримінант.
• Завжди повертайся до вихідної змінної після підстановки.

Це лише частина того, що реально трапляється на іспиті T-Kurs — повний розбір тем із систематичною послідовністю вивчення (від базових рівнянь до систем і параметрів) зібраний у курсі.

Переглянути курс T-Kurs →